Аксиомы не доказывают. Никто (кроме Занусси). Потому что аксиомы не нужно доказывать. Возьмём основную аксиому - «параллельные прямые не пересекаются». Это следует уже из формулировки слова «параллельный». Придумывая это слово, человек и подразумевал не пересекающиеся прямые (плоскости). Берём следующую аксиому. «Через точку, не лежащую на прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну». Иными словами, у любой прямой может быть только одна параллельная ей прямая с каждой стороны на данном расстоянии (речь не идёт о наложенных друг на друга прямых). И об этом (возможно, не осознавая) думал человек, придумывая слово «параллельный». Ведь все другие прямые, проведённые через ту точку, уже пересекут данную прямую! А это противоречит смыслу, заложенному в слово «параллельный».
Точно также можно «доказать» и все остальные аксиомы.